Расширенные средства графики Решение дифференциальных уравнений

конференц-залы, киев центр.

Решение дифференциальных
уравнений
Интерфейс и методы работы
Автоматическаяобработка
Обзор процесса подготовки публикации
Установки программы
Цвет и его применение в публикации
Управление цветом
Импортировать
Форматирование абзацев
Глобальное форматирование
Импорт и размещение текста
Верстка
Компоновка текста и графики
Доступ к Internet
Вывод оригинал-макета
Новая публикация
Работа с шаблонами
Автоматическая настройка макета
Структура публикации
Вспомогательные линии
Шаблоны
Иерархия шаблонов
Удаление шаблонов
Колонтитулы и линейки
Многостраничные развороты
Дублирование страниц
Создание разделов
Выбор активного слоя
Компоновка текста и графики
Точное трансформирование
Маскирование
Электронные публикации
PDF и HTML
Вывод оригинал-макета
Растрирование
Палитра инструментов
Заливка и обводка в палитре
Фреймы и объекты
Размещение текста и графики
Редактирование изображений CorelDRAW
Векторный формат
Текстовые объекты
Трансформации объектов
Команды формирования
Сохранение
Заливки
Процедурные текстуры
Интерактивной заливки
Библиотека символов
Фигурный текст формат
PDF
Иллюзия объема
Эффект линзы
Современные ядерные реакторы России
Службы DNS и DHCP Коммуникационные службы
Уровень архитектуры НК
Транспортный уровень

  • Пакет plots содержит почти полсотни графических функций, существенно расширяющих возможности построения двумерных и трехмерных графиков в Maple
  • Построение графиков функций в двумерной полярной системе координат В пакете plots есть функция для построения графиков в полярной системе координат. Она имеет вид polarplot(L,o), где L — объекты для задания функции, график которой строится, и о — необязательные параметры.
  • Построение двумерных графиков типа implidtplot В математике часто встречается особый тип задания геометрических фигур, при котором переменные х и у связаны неявной зависимостью. Исследовать функцию и построить ее график.
  • Построение графиков линиями равного уровня Графики, построенные с помощью линий равного уровня (их также называют контурными графиками), часто используются в картографии. Эти графики получаются, если мысленно провести через трехмерную поверхность ряд равноотстоящих плоскостей, параллельных плоскости, образованной осями X иY графика.
  • График плотности Иногда поверхности отображаются на плоскости как графики плотности окраски — чем выше высота поверхности, тем плотнее (темнее) окраска.
  • Двумерный график векторного поля Еще один распространенный способ представления трехмерных поверхностей графики полей векторов. Они часто применяются для отображения полей, например электрических зарядов.
  • Трехмерный график типа implidtplot3d Трехмерные поверхности также могут задаваться уравнениями неявного вида. В этом случае для построения их графиков используется функция implicitplot3d:
  • Графики в разных системах координат В пакете plots имеется множество функций для построения графиков в различных системах координат. Объем книги не позволяет воспроизвести примеры всех видов таких графиков, ибо их многие сотни.
  • Графики типа трехмерного поля из векторов Наглядность ряда графиков можно существенно увеличить, строя их в трехмерном представлении. Например, для такого построения графиков полей из векторов можно использовать графическую функцию fieldplot3d.
  • Контурные трехмерные графики В отличие от векторных графиков контурные графики поверхностей, наложенные на сами эти поверхности, нередко повышают восприимчивость таких поверхностей — подобно изображению линий каркаса.
  • Техника визуализации сложных пространственных фигур Приведенные выше достаточно простые примеры дают представление о высоком качестве визуализации геометрических фигур с помощью пакета plots.
  • Техника анимирования графиков
  • Анимация двумерных графиков Визуализация графических построений и результатов моделирования различных объектов и явлений существенно повышается при использовании средств оживления (анимации) изображений. Пакет plots имеет две простые функции для создания анимированных графиков.
  • Проигрыватель анимированной графики При включенном выводе панели форматирования во время анимации она приобретает вид панели проигрывателя клипов
  • Построение двумерных анимированных графиков Анимация графиков может найти самое широкое применение при создании учебных материалов. С ее помощью можно акцентировать внимание на отдельных параметрах графиков и образующих их функций и наглядно иллюстрировать характер их изменений.
  • Построение трехмерных анимационных графиков Нетрудно заметить, что с помощью этого меню (и содержащихся в нем подменю) можно получить доступ к параметрам трехмерной графики и выполнить необходимые операции форматирования, такие как включение цветовой окраски, выбор ориентации фигуры и т. д.
  • Анимация с помощью параметра insequence Еще один путь получения анимационных рисунков — создание ряда графических объектов pi, р2, рЗ и т. д. и их последовательный вывод с помощью функций display или display3d:
  • Графика пакета plottools
  • Примитивы пакета plottools Инструментальный пакет графики plottools служит для создания графических примитивов, строящих элементарные геометрические объекты на плоскости и в пространстве: отрезки прямых и дуг, окружности, конусы, кубики и т. д.
  • Примеры применения двумерных примитивов пакета plottools На рис. 12.19 показано применение нескольких примитивов двумерной графики для построения дуги, окружности, закрашенного красным цветом эллипса и отрезка прямой. Кроме того, на графике показано построение синусоиды.
  • Примеры применения трехмерных примитивов пакета plottools Аналогичным описанному выше образом используются примитивы построения трехмерных фигур. Это открывает возможность создания разнообразных иллюстрационных рисунков и графиков, часто применяемых при изучении курса стереометрии.
  • Построение графиков из множества фигур В ряде случаев бывает необходимо строить графики, представляющие собой множество однотипных фигур. Для построения таких графиков полезно использовать функцию повторения seq(f ,i=a. .b).
  • Анимация двумерной графики в пакете plottools. Пакет plottools открывает возможности реализации анимационной графики. Мы ограничимся одним примером анимации двумерных графиков.
  • Анимация трехмерной графики в пакете plottools Хорошим примером ЗD-анимации является документ, показанный на рис. 12.30. Представленная на нем процедура springPlot имитирует поведение упругой системы, первоначально сжатой, а затем выстреливающей шар, установленный на ее верхней пластине.
  • Расширенные средства графической визуализации
  • Построение ряда графиков, расположенных по горизонтали Обычно если в строке ввода задается построение нескольких графиков, то в строке вывода все они располагаются по вертикали. Это не всегда удобно, например, при снятии копий экрана с рядом графиков, поскольку экран монитора вытянут по горизонтали, а не по вертикали.
  • Визуализация решения систем линейных уравнений Мы уже не раз использовали графические возможности Maple для визуализации решений математических задач. Так, многие особенности даже функций одной переменной вида f(x) могут быть выявлены с помощью графика этой функции.
  • Визуализация решения систем неравенств Пожалуй, еще более полезным и наглядным средством является визуализация решения системы уравнений в виде неравенств. В пакете plots имеется специальная графическая функция inequal, которая строит все граничные линии неравенств и позволяет раскрасить разделенные ими области различными цветами
  • Конформные отображения на комплексной плоскости Средства конформного отображения в Maple 7, к сожалению, остаются рудиментарными и вряд ли достаточными для специалистов в этой области математики.
  • Графическое представление содержимого матрицы Многие вычисления имеют результаты, представляемые в форме матриц. Иногда такие результаты можно наглядно представить графически, например в виде гистограммы.
  • Визуализация ньютоновских итераций в комплексной области Теперь займемся довольно рискованным экспериментом — наблюдением ньютоновских итераций с их представлением на комплексной плоскости.
  • Визуализация корней случайных полиномов Наряду с традиционной для математических и статистических программ возможностью генерации случайных чисел Maple 7 предоставляет довольно экзотическую возможность генерации случайных полиномов с высокой максимальной степенью.
  • Визуализация поверхностей со многими экстремумами Maple 7 дает прекрасные возможности для визуализации поверхностей, имеющих множество пиков и впадин, другими словами, экстремумов.
  • Визуализация построения касательной и перпендикуляра В ряде геометрических построений нужно отроить касательную и перпендикуляр к кривой, отображающей произвольную функцию f(x) в заданной точке х =а.
  • Визуализация вычисления определенных интегралов Часто возникает необходимость в геометрическом представлении определенных интегралов в виде алгебраической суммы площадей, ограниченных кривой подынтегральной функции f(x), осью абсцисс х и вертикалями х =а их =b (пределами интегрирования).
  • Еще один пример наглядного геометрического представления математических понятий визуализация теоремы Пифагора
  • Визуализация дифференциальных параметров кривых Дифференциальные параметры функции f(x), описывающей некоторую кривую, имеют большое значение для анализа ее особых точек и областей существования.
  • Иллюстрация итерационного решения уравнения f(x) = x Классическим методом решения нелинейных уравнений является сведение их к виду х =f(x) и применение метода простых итераций xk =s(xk-1) при заданном значениих.
  • Построение сложных фигур в полярной системе координат Некоторые виды математической графики имеют определенную художественную ценность и фигурируют в символике различных стран и общественных организаций.
  • Построение сложных фигур импликативной графики Приведенные примеры дают весьма наглядное представление о больших возможностях визуализации решений самых различных задач в системе Maple
  • Анимирование разложения импульса в ряд Фурье Анимирование изображений является одним из самых мощных средств визуализации результатов моделирования тех или иных зависимостей или явлений.
  • Наблюдение кадров анимации поверхности Наблюдение за развитием поверхности производит на многих (особенно на студентов) большое впечатление. Оно позволяет понять детали создания сложных трехмерных графиков и наглядно представить их математическую сущность.
  • Новая функция для построения стрелок arrow В пакет plots системы Maple 7 введена новая функция построения стрелок arrow. Она задается в виде arrow(u,[v,]opts) или arrow(U,opts)
  • Построение сложных комбинированных графиков В заключение этой главы рассмотрим построение с помощью системы Maple 7 достаточно сложных комбинированных графиков, содержащих различные графические и текстовые объекты

Решение дифференциальных уравнений

  • Основные средства решения дифференциальных уравнений Важное место в математических расчетах занимает решение дифференциальных уравнений. К нему, в частности, обычно относится анализ поведения различных систем во времени (анализ динамики), а также вычисление различных полей (тяготения, электрических зарядов и т. д.).
  • Решение ОДУ первого порядка Начнем рассмотрение практических примеров с решения одиночных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка
  • Решение дифференциальных уравнений второго порядка Здесь видно, что для задания производной используется ранее рассмотренная функция diff. С помощью символа $ можно задать производную более высокого порядка
  • Решение систем дифференциальных уравнений На рис. 13.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с использованием преобразования Лапласа.
  • Численное решение дифференциальных уравнений Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требуется получить ответ в виде графических зависимостей.
  • Дифференциальные уравнения с кусочными функциями Функции кусочного типа широко используются при математическом моделировании различных физических объектов и систем. В основе такого моделирования обычно лежит решение дифференциальных уравнений, описывающих поведение объектов и систем.
  • Структура неявного представления дифференциальных уравнений — DESol В ряде случаев иметь явное представление дифференциальных уравнений нецелесообразно
  • Инструментальный пакет решения дифференциальных уравнений DEtools. Решение дифференциальных уравнений самых различных типов — одно из достоинств системы Maple 7. Пакет DEtools предоставляет ряд полезных функций для решения дифференциальных уравнений и систем с такими уравнениями
  • Основные функции пакета DEtools Ввиду обилия функций пакета DEtools дать их полное описание в данной книге не представляется возможным. Поэтому выборочно рассмотрим наиболее важные функции этого пакета.
  • Применение функции odeplot пакета plots Для обычного графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция odeplot из описанного выше пакета plots.
  • Функция DEplotna пакета DEtools Специально для решения и визуализации решений дифференциальных уравнений и систем с дифференциальными уравнениями служит инструментальный пакет DEtools
  • Функция DEplot3d из пакета DEtools В ряде случаев решение систем дифференциальных уравнений удобно представлять в виде пространственных кривых — например, линий равного уровня или просто в виде кривых в пространстве. Для этого служит функция DEplot3d:
  • Функция PDEplot пакета DEtools. Еще одна функция пакета DEtools — DEtools[PDEp1ot] — служит для построения графиков решения систем с квазилинейными дифференциальными уравнениями первого порядка в частных производных
  • Графическая функция dfieldplot служит для построения поля направления с помощью векторов по результатам решения дифференциальных уравнений. Фактически эта функция как бы входит в функцию DEplot и при необходимости вызывается последней.
  • Графическая функция phaseportrait служит для построения фазовых портретов по результатам решения одного дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений deqns.
  • Углубленный анализ дифференциальных уравнений Maple существенно доработана по части решения дифференциальных уравнений (ДУ) и систем с ДУ. Эта доработка прежде всего направлена на получение верных решений как можно большего числа ДУ разных классов и систем с ДУ.
  • Проверка ДУ на автономность Одиночное дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений называются автономными, если их правая часть явно не зависит от независимой переменной.
  • Контроль уровня вывода решения ДУ Для углубленного анализа аналитического решения ДУ (или системы ДУ) можно использовать специальную возможность управления уровнем вывода решения с помощью системной переменной infilevel(dsolve)=level.
  • Приближенное полиномиальное решение ДУ Во многих случаях аналитические решения даже простых ДУ оказываются весьма сложными, например содержат специальные математические функции. При этом нередко полезна подмена такого решения другим, тоже аналитическим, но приближенным решением.

Математические пакеты

Интерфейс и методы работы в программе InDesign Обзор процесса подготовки публикации